月嫂证的颁发通常由国家或地方政府指定的机构负责，这些机构通常会根据国家的法律法规和行业标准来制定和颁发月嫂证，月嫂证的颁发主要由人力资源和社会保障部门、卫生行政部门以及相关行业协会共同参与。

以下是一些可能的部门：

1、人力资源和社会保障部门：中国的人力资源和社会保障部负责全国范围内的就业和职业培训工作，如果月嫂证书是由人力资源和社会保障部门颁发的，那么这个证书应该是在国家层面上得到认可和监管的。

2、卫生行政部门：中国的卫生和计划生育委员会负责全国范围内的公共卫生和医疗服务工作，如果月嫂证书是由卫生行政部门颁发的，那么这个证书应该与公共卫生和医疗服务有关。

3、相关行业协会：中国的职业技术协会、家政服务行业协会等可能会参与月嫂证书的颁发工作，这些协会通常会根据国家和行业的标准来制定和颁发月嫂证书。

在选择颁发月嫂证的部门时，可以考虑以下几个方面：

1、权威性：选择有权威的部门颁发月嫂证书，以确保证书的合法性和有效性。

2、专业性：选择专业对口的部门颁发月嫂证书，以确保证书的内容符合行业要求。

3、公信力：选择公信力高的部门颁发月嫂证书，以确保证书的权威性和可信度。

4、服务质量：选择服务质量好的部门颁发月嫂证书，以确保证书的实用性和有效性。

5、价格因素：考虑颁发月嫂证书的费用，选择性价比高的部门。

选择颁发月嫂证的部门时，需要综合考虑权威性、专业性、公信力、服务质量和价格因素，人力资源和社会保障部门、卫生行政部门以及相关行业协会都可能参与月嫂证的颁发工作。